Michel,
1) Quando vc faz uma consulta no BD, não pode haver dois campos com um mesmo nome. No teu caso todas as tabelas tem o mesmo nome do campo a ser consultado: vendedor;
2) Reparei tbém q vc colocou ". ." entre % %, não precisa;
3) Vc tbém colocou ; no final no lugar errado;
4) E, por último, verifique se realmente vc está executando o comando SELECT com mysql_query().
Portanto, tente isso:
$sql = mysql_query("
SELECT
vendas_agentes.vendedor AS agentes,
vendas_consultores.vendedor AS consultores,
vendas_representantes.vendedor AS representantes
FROM
vendas_agentes, vendas_consultores, vendas_representantes
WHERE
vendas_agentes.vendedor LIKE '%$nome%'
OR
vendas_representantes.vendedor LIKE '%$nome%'
OR
vendas_consultores.vendedor LIKE '%$nome%'
");
Espero ter ajudado.
Abraços